Мат. анализ ч3 | Мат. анализ ч4 | Строение атомных ядер | Модели атомных ядер | Ядерные реакции | Термодинамика | Магнитое поле | Оптика | Механика

Курс лекций по высшей математике начало

Асимптоты графика функции

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции $ y=f(x)$ называется вертикальная прямая $ x=a$, если $ f(x)\to+\infty$ или $ f(x)\to-\infty$ при каком-либо из условий: $ x\to a+$, $ x\to a-$, $ x\to a$. Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка $ a$ принадлежала области определения функции $ f(x)$, однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: $ (a-{\delta};a)$ или $ (a;a+{\delta})$, где $ {\delta}>0$.     

        Пример 7.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x-1}$. График $ y=f(x)$ имеет вертикальную асимптоту $ x=1$, поскольку при $ x\to1+$ выполняется условие $ \frac{1}{x-1}\to+\infty$, а также при $ x\to1-$ выполняется условие $ \frac{1}{x-1}\to-\infty$.     

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=\frac{1}{x-1}$


        Пример 7.2   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$. Её график имеет вертикальную асимптоту $ x=0$, так как $ e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$ при $ x\to0+$. То, что при $ x\to0-$ функция $ f(x)$ не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая $ x=0$ являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, $ e^{\frac{1}{x}}\to0+$ при $ x\to0-$.)     

Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$


        Пример 7.3   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$. Прямая $ x=0$ является вертикальной асимптотой графика $ y=f(x)$, так как $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to0+$. Заметим, что слева от точки $ x=0$ функция вообще не определена.     

Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\ln x$


        Пример 7.4   График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет при $ x=0$ вертикальной асимптоты, так как $ f(x)$ -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при $ x\to0$ и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция $ g(x)=\dfrac{1}{x}$ -- имеет вертикальную асимптоту $ x=0$.     

Рис.7.4.График функции $ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты


        Пример 7.5   Прямая $ x=0$ не является вертикальной асимптотой графика функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$, поскольку здесь нельзя утверждать, что при $ x\to0-$ или $ x\to0+$ функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях $ \vert x\vert$ значения $ \vert f(x)\vert$ могут быть как угодно велики, однако при других малых $ \vert x\vert$ функция обращается в 0: так, при $ x=\pm\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi}$ ($ n\in\mathbb{N}$) значения функции равны $ \dfrac{1}{x}$ и стремятся к бесконечности при $ n\to\infty$, а при всех $ x$ вида $ x=\pm\dfrac{1}{n\pi}$ ($ n\in\mathbb{N}$) значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки $ x$ при увеличении $ n$ попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция $ f(x)$ не является бесконечно большой при $ x\to0\pm$, и прямая $ x=0$ -- не асимптота.     

Рис.7.5.График функции $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin\dfrac{1}{x}$ не имеет вертикальной асимптоты


Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.

        Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции $ {y=f(x)}$ при $ {x\to+\infty}$ называется прямая $ y=kx+b$, если выполнены два условия:
1) некоторый луч $ (a;+\infty)$ целиком содержится в $ \mathcal{D}(f)$;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $ x\to+\infty$:

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции $ y=f(x)$ при $ x\to-\infty$ называется прямая $ y=kx+b$, если
1) некоторый луч $ (-\infty;a)$ целиком содержится в $ \mathcal{D}(f)$;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при $ x\to-\infty$:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}[f(x)-(kx+b)]=0.$

    

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$


В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при $ k=0$, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая $ y=c=\mathrm{const}$ является горизонтальной асимптотой графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ или $ x\to-\infty$, если

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=с$

или

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=с$

соответственно.

        Пример 7.6   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$. График этой функции имеет наклонную асимптоту $ y=\dfrac{x}{2}$ при $ x\to+\infty$. Действительно,

$\displaystyle f(x)-\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to0$ при $\displaystyle x\to+\infty.$

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида $ (-\infty;a)$, так что её график не может иметь асимптоты при $ x\to-\infty$.     

Рис.7.7.Наклонная асимптота функции $ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$


        Пример 7.7   График функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$ имеет горизонтальную асимптоту $ y=1$ как при $ x\to+\infty$, так и при $ x\to-\infty$, поскольку, очевидно, $ f(x)\to1$ при $ x\to\pm\infty$. Можно сказать также, что асимптота при $ x\to-\infty$ у этого графика совпадает с асимптотой при $ x\to+\infty$.     

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции $ f(x)=1+\dfrac{1}{x-1}$


Аналогично определению наклонной асимптоты можно дать также более общее определение:

        Определение 7.3   Линия $ y={\varphi}(x)$ называется асимптотической линией графика функции $ f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$), если обе эти функции определены на некотором луче $ (a;+\infty)$ (или луче $ (-\infty;a)$) и разность ординат графиков стремится к 0 при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$, соответственно).     

Если функция $ {\varphi}(x)$ -- линейная, то есть график $ y={\varphi}(x)$ -- наклонная прямая, то асимптотическая линия -- это наклонная асимптота. Однако и другие линии бывает естественно рассматривать в качестве асимптотических.

        Пример 7.8   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$. При $ x\to\pm\infty$ график этой функции имеет асимптотическую линию $ y=x^2$, поскольку разность между $ f(x)$ и $ {{\varphi}(x)=x^2}$, равная, очевидно, $ \frac{1}{x}$, стремится к 0 при $ x\to\pm\infty$.     

Рис.7.9.Асимптотическая линия $ y=x^2$ графика функции $ f(x)=x^2+\frac{1}{x}$


        Замечание 7.1   Функции $ {\varphi}(x)$ и $ f(x)$ входят в определение асимптотической линии симметрично: если график $ y={\varphi}(x)$ -- асимптотическая линия для графика $ y=f(x)$, то и $ y=f(x)$ -- асимптотическая линия для $ y={\varphi}(x)$. На практике, однако, естественно считать асимптотической линией тот из двух графиков, который задаётся более простой формулой и вид которого известен.     

        Пример 7.9   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x+e^{-x}$. Так как $ e^{-x}\to0$ при $ {x\to+\infty}$, то естественно рассматривать график $ y=\sin x$ как асимптотическую линию при $ {x\to+\infty}$ для графика исследуемой функции $ f(x)$.     

Рис.7.10.Асимптотическая линия $ y=\sin x$ для графика функции $ f(x)=\sin x+e^{-x}$ при $ x\to+\infty$


Вернёмся к наклонным асимптотам -- прямым линиям с уравнением $ y=kx+b$. Для их нахождения в тех случаях, когда значения $ k$ и $ b$ не очевидны, можно применять следующую теорему.

        Теорема 7.1   Прямая $ y=kx+b$ служит наклонной асимптотой для графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$ (или при $ x\to-\infty$) в том и только том случае, когда

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$(7.2)

и

$\displaystyle b=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]$(7.3)

(соответственно, если

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ и $\displaystyle b=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]).$

Таким образом, для нахождения наклонной (или горизонтальной, если получится $ {k=0}$) асимптоты достаточно найти два указанных предела $ k$ и, затем, $ b$. Прямая $ {y=kx+b}$ будет искомой асимптотой. Если же какой-либо из этих двух пределов не существует, то нет и соответствующей асимптоты.

        Доказательство теоремы.     Докажем теорему в случае $ x\to+\infty$; доказательство при $ x\to-\infty$ проводится совершенно аналогично.

Перепишем условие (7.1), задающее асимптоту, в виде

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=
\lim_{x\to+\infty}x[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$

Так как первый множитель $ x\to+\infty$, то второй множитель, стоящий в квадратных скобках, должен быть бесконечно малым, то есть

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}]=0.$

Но $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{b}{x}=0$ и $ \lim\limits_{x\to+\infty}k=k$, так что

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}-k=0,$

откуда следует равенство (7.2). Теперь число $ k$ уже известно.

Подставляя это число в формулу (7.1), находим, что

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}[f(x)-(kx+b)]=
\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]-b=0,$

откуда следует равенство (7.3).     

        Пример 7.10   Найдём наклонные асимптоты графика $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$.

Попробуем отыскивать сразу оба предела, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$.

$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-x+3}{x(x-1)}=
\lim_{x\to\infty}\dfrac{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=2;$

$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}[\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}-2x]=
\lim_{x\to\infty}...
...fty}\dfrac{x+3}{x-1}=
\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1.$

Итак, и при $ x\to+\infty$, и при $ x\to-\infty$ имеем $ k=2$ и $ b=1$, так что обе наклонные асимптоты совпадают друг с другом и имеют уравнение $ y=2x+1$, то есть, фактически, асимптота только одна.     

Рис.7.11.График $ y=\dfrac{2x^2-x+3}{x-1}$ и его наклонная асимптота


        Замечание 7.2   Из определения асимптоты не следует, что если асимптоты при $ x\to-\infty$ и при $ x\to+\infty$ для одного и того же графика существуют, то они непременно совпадают. Это могут быть и различные прямые, как показывает следующий простой пример.     

        Пример 7.11   Рассмотрим график $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. При $ x\to-\infty$ график приближается к горизонтальной асимптоте $ y=-\frac{\pi}{2}$, а при $ x\to+\infty$ -- к другой горизонтальной асимптоте $ y=\frac{\pi}{2}$.     

Рис.7.12.График арктангенса имеет две разных горизонтальных асимптоты


Различными могут оказаться и не обязательно горизонтальные асимптоты:

        Пример 7.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=2\sqrt{x^2+x+1}-x$. Покажем, что обе её наклонные асимптоты существуют, но не совпадают друг с другом.

Сначала найдём асимптоту $ y=kx+b$ при $ x\to+\infty$. Согласно доказанной теореме, имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}=
\lim_{x\to+\infty}(2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=2-1=1;$

\begin{multline*}
b=\lim_{x\to+\infty}[(2\sqrt{x^2+x+1}-x)-x]=
2\lim_{x\to+\in...
...}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=
2\cdot\frac{1}{2}=1.
\end{multline*}

Таким образом, при $ x\to+\infty$ наклонной асимптотой служит прямая $ y=x+1$.

Теперь найдём асимптоту при $ x\to-\infty$. Имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2\sqrt{x^2+x+1}-x}{x}=
\lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1).$

Поскольку $ x\to-\infty$, мы можем считать, что в допредельном выражении $ x<0$. В полученной дроби поделим числитель и знаменатель на положительное число $ (-x)$. Тогда под корнем нужно будет поделить на $ (-x)^2=x^2$, и получится:

$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(2\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}-1)=
\lim_{x\to-\infty}(-2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1)=-2-1=-3.$

Вычисление $ b$ проведите сами в качестве упражнения. При этом получается $ b=-1$, так что наклонная асимптота при $ x\to-\infty$ имеет уравнение $ y=-3x-1$.     

Рис.7.13.График $ y=2\sqrt{x^2+x+1}-x$ и его две наклонных асимптоты


        Замечание 7.3   Если график $ y=f(x)$ имеет асимптоту $ y=kx+b$ (например, при $ x\to+\infty$) и существует предел производной:

$\displaystyle l=\lim_{x\to+\infty}f'(x),$

то $ k=l$. Иными словами, если угловой коэффициент касательной имеет предел, то этот предел равен угловому коэффициенту асимптоты17.

Однако асимптота может существовать и в случае, когда производная $ f'(x)$ не имеет никакого предела при $ x\to+\infty$. Дело в том, что значения $ f(x)$ могут совершать мелкие, но частые колебания относительно ординаты асимптоты, так что значения производной могут при этом испытывать незатухающие колебания. Проиллюстрируем эту возможность следующим примером.     

        Пример 7.13   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^2+x$. Очевидно, что прямая $ y=x$ -- это асимптота графика $ y=f(x)$ при $ x\to+\infty$, так как первое слагаемое имеет предел, равный 0, при $ x\to+\infty$. Однако вычисление производной даёт

$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}\sin x^2+2\sin x^2,$

а эта функция при росте $ x$ совершает колебания, причём при больших $ x$ второе слагаемое становится пренебрежимо малым, и значения $ f'(x)$ колеблются примерно между $ -1$ и 3. Следовательно, производная не имеет предела при $ x\to+\infty$.

Если же рассмотреть функцию $ f(x)=\dfrac{1}{x}\sin x^3+x$, то её производная оказывается даже неограниченной на любом луче вида Двойной интеграл Тригонометрическая подстановка